Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P（-4，0），过点P的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当线段MN的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围．

Answer

（I）设出椭圆的方程，根据正方形的面积求出椭圆中参数a的值且判断出参数b，c的关系，根据椭圆的三个参数的关系求出b，c的值，即可得到椭圆的方程．
（II）设出直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用二次方程的韦达定理得到弦中点的坐标，根据中点在正方形的内部，得到中点的坐标满足的不等关系，即可求直线l的斜率的取值范围．
【解析】
（1）依题意，设椭圆C的方程为，焦距为2c，
由题设条件知，a2=8，b=c，所以
故椭圆C的方程为  …（6分）．
（2）椭圆C的左准线方程为x=-4，所以点P的坐标为（-4，0）
显然直线l的斜率k存在，所以可设直线l的方程为y=k（x+4）．
设点M，N的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段MN的中点为G（x，y）
由得（1+2k2）x2+16k2x+32k2-8=0．①
由△=（16k2）2-4（1+2k2）（32k2-8）＞0解得．②
因为x1，x2是方程①的两根，所以，
于是有，
因为，所以点G不可能在y轴的右边，
又直线F1B2，F1B1方程分别为y=x+2，y=-x-2
所以点G在正方形内（包括边界）的充要条件为即
亦即
解得，此时②也成立．
故直线l斜率的取值范围是 …（15分）