Question

公差大于零的等差数列{a_n}的前项和为S_n，且满足a₃•a₄=117，a₂+a₅=22．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若，且数列{b_n}是等差数列，求非零常数的值；
（3）在（2）的条件下，求的最大值．

Answer

（1）利用等差数列的通项公式，由a3•a4=117，a2+a5=22即可求得首项与公差，从而可得数列{an}的通项公式；
（2）由an=4n-3可求得Sn=n（2n-1），从而得bn=，再利用{bn}是等差数列由2b2=b1+b3，即可求得c的值；
（3）由（2）求得bn=2n，于是f（n）=，利用基本不等式即可求得f（n）max．
【解析】
（1）由题知a3+a4=a2+a5=22，a3•a4=117，
所以，a3=9，a4=13或a3=13，a4=9，
所以公差d=±4，又因为d＞0，
所以d=4，因此an=4n-3（4分）
（2）∵Sn==n（2n-1），
所以=，
由{bn}是等差数列得，2b2=b1+b3，
∴=+，整理得：2c2+c=0，
∴c=-，（其中c=0舍去）（8分）
（3）由（2）知bn=2n，
∴f（n）===≤=．
当且仅当n=，即n=6时取得等号．即f（n）max=．