Question

已知圆C：x²+y²=4．
（1）直线l过点P（1，2），且与圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程；
（2）过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程．
（3）若点R（1，0），在（2）的条件下，求的最小值．

Answer

（1）分两种情况考虑：①直线l垂直于x轴时，可得出直线l为x=1，此时直线l与圆C的两交点距离为2，满足题意；②当直线l不垂直x轴时，设直线l的斜率为k，由P及斜率k表示出直线l的方程，设圆心到直线的距离为d，由已知截取的弦长，根据垂径定理及勾股定理列出关于d的方程，求出方程的解得到d的值，再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，由d的值列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出此时直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线方程；
（2）设出M及Q的坐标，根据题意表示出N的坐标，利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式，用x与y分别表示出x及y，将表示出的x及y代入圆C的方程，得到x与y的关系式，再根据由已知，直线m∥y轴，得到x≠0，即可得出Q的轨迹方程；
（3）由Q及R的坐标，表示出，利用平面向量模的计算法则表示出||2，由圆C的方程表示出y2，将y2代入表示出的||2中，得到关于x的二次三项式，配方后根据二次函数的性质，可得出||2的最小值，开方即可得出||的最小值，以及此时x的值．
【解析】
（1）分两种情况考虑：
①当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=1，
则l与圆的两个交点坐标为（1，）和（1，-），其距离为，满足题意；（1分）
②若直线l不垂直于x轴，设其方程为y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，（2分）
设圆心到此直线的距离为d，
则2=2，解得：d=1，
∴1=，解得：k=，
故所求直线方程为3x-4y+5=0，
综上所述，所求直线为3x-4y+5=0或x=1；（5分）
（2）设点M的坐标为（x，y），Q点坐标为（x，y），
则N点坐标是（x，0），
∵=+，
∴（x，y）=（2x，y），即x=，y=y，
又∵x2+y2=4，∴+y2=4，（8分）
由已知，直线m∥y轴，得到x≠0，
∴Q点的轨迹方程是+y2=4（x≠0）；（9分）
（3）设Q坐标为（x，y），R（1，0），
∴=（x-1，y），
∴||2=（x-1）2+y2，（10分）
又+y2=4（x≠0），
∴||2=（x-1）2+y2=（x-1）2+4-
=≥，（12分）
∵x∈[-4，0）∪（0，4]，
∴x=时，||取到最小值．（13分）