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已知圆C:x2+y2=4. (1)直线l过点P(1,2),且与圆C交于A、B两点...

已知圆C:x2+y2=4.
(1)直线l过点P(1,2),且与圆C交于A、B两点,若manfen5.com 满分网,求直线l的方程;
(2)过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m,设m与x轴的交点为N,若向量manfen5.com 满分网,求动点Q的轨迹方程.
(3)若点R(1,0),在(2)的条件下,求manfen5.com 满分网的最小值.
(1)分两种情况考虑:①直线l垂直于x轴时,可得出直线l为x=1,此时直线l与圆C的两交点距离为2,满足题意;②当直线l不垂直x轴时,设直线l的斜率为k,由P及斜率k表示出直线l的方程,设圆心到直线的距离为d,由已知截取的弦长,根据垂径定理及勾股定理列出关于d的方程,求出方程的解得到d的值,再利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d,由d的值列出关于k的方程,求出方程的解得到k的值,确定出此时直线的方程,综上,得到所有满足题意的直线方程; (2)设出M及Q的坐标,根据题意表示出N的坐标,利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式,用x与y分别表示出x及y,将表示出的x及y代入圆C的方程,得到x与y的关系式,再根据由已知,直线m∥y轴,得到x≠0,即可得出Q的轨迹方程; (3)由Q及R的坐标,表示出,利用平面向量模的计算法则表示出||2,由圆C的方程表示出y2,将y2代入表示出的||2中,得到关于x的二次三项式,配方后根据二次函数的性质,可得出||2的最小值,开方即可得出||的最小值,以及此时x的值. 【解析】 (1)分两种情况考虑: ①当直线l垂直于x轴时,此时直线方程为x=1, 则l与圆的两个交点坐标为(1,)和(1,-),其距离为,满足题意;(1分) ②若直线l不垂直于x轴,设其方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,(2分) 设圆心到此直线的距离为d, 则2=2,解得:d=1, ∴1=,解得:k=, 故所求直线方程为3x-4y+5=0, 综上所述,所求直线为3x-4y+5=0或x=1;(5分) (2)设点M的坐标为(x,y),Q点坐标为(x,y), 则N点坐标是(x,0), ∵=+, ∴(x,y)=(2x,y),即x=,y=y, 又∵x2+y2=4,∴+y2=4,(8分) 由已知,直线m∥y轴,得到x≠0, ∴Q点的轨迹方程是+y2=4(x≠0);(9分) (3)设Q坐标为(x,y),R(1,0), ∴=(x-1,y), ∴||2=(x-1)2+y2,(10分) 又+y2=4(x≠0), ∴||2=(x-1)2+y2=(x-1)2+4- =≥,(12分) ∵x∈[-4,0)∪(0,4], ∴x=时,||取到最小值.(13分)
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考点分析:
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