Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=60°．
（Ⅰ）若cos（B+C）=-，求cosC的值；
（Ⅱ）若a=5，=5，求△ABC的面积．

Answer

（Ⅰ）根据B与C为三角形的内角，可得出B+C的范围，由cos（B+C）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（B+C）的值，由B的度数求出sinB和cosB的值，然后将cosC中的角C变形为（B+C）-B，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出cosC的值；
（Ⅱ）利用平面向量的数量积运算化简=5，利用诱导公式变形后，将a的值代入，求出bcosC=-1，记作①，再利用正弦定理列出关系式，将a的值及B的度数代入，并由B的度数，根据三角形内角和定理得到A+C的度数，用C表示出A，代入关系式中，整理后得到一个关系式，记作②，将①代入②，得到bsinC=6，再由a的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
（本小题满分12分）
【解析】
（Ⅰ）在△ABC中，由cos（B+C）=-，得
sin（B+C）===，
∴cosC=cos[（B+C）-B]=cos（B+C）cosB+sin（B+C）sinB
=-×+×=；…（6分）
（Ⅱ）由•=5，得||•||cos（180°-C）=5，即abcosC=-5，
又a=5，∴bcosC=-1，①
由正弦定理=，得=，
∴=，
即bcosC+bsinC=5，②
将①代入②，得bsinC=6，
则△ABC的面积为S=absinC=×5×6=15．…（12分）