Question

在等差数列{a_n}中，满足3a₅=5a₈，S_n是数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）若a₁＞0，当S_n取得最大值时，求n的值；
（Ⅱ）若a₁=-46，记b_n=，求b_n的最小值．

Answer

（Ⅰ）设{an}的公差为d，由3a5=5a8，得3（a1+4d）=5（a1+7d），故d=-a1．由此能求出当Sn取得最大值时n的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a1=-46，得d=-×（-46）=4，故an=-46+（n-1）×4=4n-50，Sn=-46n+×4=2n2-48n．
由此能求出bn的最小值．
【解析】
（Ⅰ）设{an}的公差为d，则
由3a5=5a8，得3（a1+4d）=5（a1+7d），∴d=-a1．
∴Sn=na1+×（-a1）=-a1n2+a1n=-a1（n-12）2+a1．
∵a1＞0，∴当n=12时，Sn取得最大值．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a1=-46，得d=-×（-46）=4，
∴an=-46+（n-1）×4=4n-50，
Sn=-46n+×4=2n2-48n．
∴bn===2n+-52≥2-52=-32，
当且仅当2n=，即n=5时，等号成立．
故bn的最小值为-32．…（12分）