Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠ADB=90°，AB=2AD．
（Ⅰ）证明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer

（Ⅰ）由∠ADB=90°，得BD⊥AD．因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BD．由此能够证明BD⊥PA．
（Ⅱ）以DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，设AD=a，则=（-a，a，0），=（-a，0，0），=（-a，0，a），=（-a，a，-a）．从而得到平面PAB的法向量=（3，，3）．同理，求得平面PBC的一个法向量为=（0，-1，-）．由此能求出二面角A-PB-C的余弦值．
（本小题满分12分）
【解析】
（Ⅰ）由∠ADB=90°，可得BD⊥AD．
因为PD⊥底面ABCD，
所以PD⊥BD．
又PD∩AD=D，
所以BD⊥平面PAD，
因为PA⊂平面PAD，
所以BD⊥PA．…（4分）
（Ⅱ）以DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，设AD=a，则
A（a，0，0），B（0，a，0），C（-a，a，0），P（0，0，a），
=（-a，a，0），=（-a，0，0），
=（-a，0，a），=（-a，a，-a）．
设平面PAB的法向量为=（x，y，z），
得
设y=，则x=z=3，
得=（3，，3）．
同理，可求得平面PBC的一个法向量为=（0，-1，-）．
所以cos＜，＞==-．
由图形知，二面角A-PB-C为钝角，
因此二面角A-PB-C的余弦值是-．…（12分）