Question

如图，已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁（-c，0）、F₂（c，0），Q是椭圆外的一个动点，满足|F₁Q|=2a．点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点M在线段F₂Q上，且满足•=0，||≠0．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线l与轨迹C交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）求解的结果，试对椭圆Γ写出类似的命题．（只需写出类似的命题，不必说明理由）

Answer

（Ⅰ）设M（x，y）为轨迹C上的任意一点．分类讨论，当||=0时，点（a，0）和点（-a，0）在轨迹C上，当||≠0且||≠0时，由•=0，得⊥，从而可值M为线段F2Q的中点，进而可求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
由消去y并整理，利用韦达定理及直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，可求直线方程，从而可求△OAB面积，进而可得△OAB面积的取值范围；
（Ⅲ）对椭圆Γ而言，有如下类似的命题：“设不过原点O的直线l与椭圆Γ交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，则△OAB面积的取值范围为（0，ab）．”
【解析】
（Ⅰ）设M（x，y）为轨迹C上的任意一点．
当||=0时，点（a，0）和点（-a，0）在轨迹C上．
当||≠0且||≠0时，由•=0，得⊥．
又||=||（如图），所以M为线段F2Q的中点．
在△QF1F2中，||=|F1Q|=a，所以有x2+y2=a2．
综上所述，点M的轨迹C的方程是x2+y2=a2．…（4分）
（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
由消去y并整理，得
（1+k2）x2+2kmx+m2-a2=0，
则△=4k2m2-4（1+k2）（m2-a2）=4（k2a2+a2-m2）＞0，
且x1+x2=，x1x2=．
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．
∵直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，
∴•==k2，
即+m2=0，又m≠0，
∴k2=1，即k=±1．
设点O到直线l的距离为d，则d=，
∴S△OAB=|AB|d=|x1-x2|•
=|x1-x2||m|=．
由直线OA，OB的斜率存在，且△＞0，得0＜m2＜2a2且m2≠a2，
∴0＜＜=a2．
故△OAB面积的取值范围为（0，a2）．…（10分）
（Ⅲ）对椭圆Γ而言，有如下类似的命题：“设不过原点O的直线l与椭圆Γ交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，则△OAB面积的取值范围为（0，ab）．”…（13分）