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已知函数f(x)=ln(1+x)-ax在x=-处的切线的斜率为1. (Ⅰ)求a的...

已知函数f(x)=ln(1+x)-ax在x=-manfen5.com 满分网处的切线的斜率为1.
(Ⅰ)求a的值及f(x)的最大值;
(Ⅱ)证明:1+manfen5.com 满分网+manfen5.com 满分网+…+manfen5.com 满分网>ln(n+1)(n∈N*);
(Ⅲ)设g(x)=b(ex-x),若f(x)≤g(x)恒成立,求实数b的取值范围.
(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(-1,+∞).求导数,利用函数f(x)=ln(1+x)-ax在x=-处的切线的斜率为1,可求a的值,再确定函数的单调性,从而可求f(x)的最大值; (Ⅱ)法(一):由(Ⅰ),得ln(1+x)-x≤0,即ln(1+x)≤x,当且仅当x=0时,等号成立.令x=(k∈N*),从而可得>ln(k+1)-lnk(k=1,2,…,n),将上述n个不等式依次相加,即可证得结论; 法(二):先证明当n=1时,不等式成立;再假设当n=k时,不等式成立,结合x>ln(1+x)(x>-1,且x≠0)及x=,即可证得结论; (Ⅲ)先确定b≥0.由(Ⅰ),知f(x)max=f(0)=0,再求g(x)的最小值,从而可求实数b的取值范围. (Ⅰ)【解析】 函数f(x)的定义域为(-1,+∞). 求导数,得f′(x)=-a. 由已知,∵函数f(x)=ln(1+x)-ax在x=-处的切线的斜率为1 ∴f′(-)=1,即-a=1,∴a=1. 此时f(x)=ln(1+x)-x,f′(x)=-1=, 当-1<x<0时,f′(x)>0;当x>0时,f′(x)<0. ∴当x=0时,f(x)取得极大值,该极大值即为最大值, ∴f(x)max=f(0)=0.…(4分) (Ⅱ)证明:法(一):由(Ⅰ),得ln(1+x)-x≤0, 即ln(1+x)≤x,当且仅当x=0时,等号成立. 令x=(k∈N*),则>ln(1+),即>ln, ∴>ln(k+1)-lnk(k=1,2,…,n). 将上述n个不等式依次相加,得 1+++…+>(ln2-ln1)+(ln3-ln2)+…+[ln(n+1)-lnn], ∴1+++…+>ln(n+1)(n∈N*).…(10分) 法(二):用数学归纳法证明. (1)当n=1时,左边=1=lne,右边=ln2,∴左边>右边,不等式成立. (2)假设当n=k时,不等式成立,即1+++…+>ln(k+1). 那么1+++…++>ln(k+1)+, 由(Ⅰ),知x>ln(1+x)(x>-1,且x≠0). 令x=,则>ln(1+)=ln, ∴ln(k+1)+>ln(k+1)+ln=ln(k+2), ∴1+++…++>ln(k+2). 即当n=k+1时,不等式也成立.…(10分) 根据(1)(2),可知不等式对任意n∈N*都成立. (Ⅲ)【解析】 ∵f(0)=0,g(0)=b,若f(x)≤g(x)恒成立,则b≥0. 由(Ⅰ),知f(x)max=f(0)=0. (1)当b=0时,g(x)=0,此时f(x)≤g(x)恒成立; (2)当b>0时,g′(x)=b(ex-1), 当x∈(-1,0)时,g′(x)<0,g(x)单调递减; 当x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增. ∴g(x)在x=0处取得极小值,即为最小值, ∴g(x)min=g(0)=b>0≥f(x),即f(x)≤g(x)恒成立. 综合(1)(2)可知,实数b的取值范围为[0,+∞).…(14分)
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考点分析:
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[25,30]0.20
[30,35]35
[35,40]300.30
[40,45]100.10
合计1001.00
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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