Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．
（Ⅰ）求证：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）求证：AD⊥平面PAC；
（Ⅲ）求二面角M-AC-D的正切值．

Answer

（Ⅰ）连接OM，BD，由M，O分别为PD和AC中点，知OM∥PB，由此能够证明PB∥平面ACM．
（Ⅱ）由PO⊥平面ABCD，知PO⊥AD，由∠ADC=45°，AD=AC=1，知AC⊥AD，由此能够证明AD⊥平面PAC．
（Ⅲ）取DO中点N，连接MN，由MN∥PO，知MN⊥平面ABCD．过点N作NE⊥AC于E，由E为AO中点，连接ME，由三垂线定理知∠MEN即为所求，由此能求出二面角M-AC-D的正切值．
（Ⅰ）证明：连接OM，BD，
∵M，O分别为PD和AC中点，
∴OM∥PB，
∵OM⊂平面ACM，PB⊄ACM平面，
∴PB∥平面ACM…．（4分）
（Ⅱ）证明：∵PO⊥平面ABCD
∴PO⊥AD，
∵∠ADC=45°，AD=AC=1，
∴AC⊥AD，
∵AC∩PO=O，AC，PO⊂平面PAC，
∴AD⊥平面PAC．…..（8分）
（Ⅲ）【解析】
取DO中点N，连接MN，则MN∥PO，
∴MN⊥平面ABCD
过点N作NE⊥AC于E，则E为AO中点，
连接ME，由三垂线定理可知∠MEN即为二面角M-AC-D的平面角，
∵MN=1，NE=
∴tan∠MEN=2…..（13分）