Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且对任意正整数n，点（a_n+1，S_n）在直线2x+y-2=0上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由．
（Ⅲ）已知数列{b_n}，，b_n的前n项和为T_n，求证：．

Answer

（Ⅰ）由题意可得：2an+1 +Sn-2=0，n≥2时，2an-1+sn-1-2=0，相减化简得=（n≥2），可得
{an}是首项为1，公比为的等比数列，由此求出通项公式．
（Ⅱ）利用等比数列求和公式求出 Sn ，分析可得欲使 {}成等差数列，只须λ-2=0，由此得出结论．
（Ⅲ）化简  等于 （ -），由此求得Tn =-．再由 y=，在[1，+∞）上为增函数，可得 ≤＜1，从而得 ≤-＜1-，由此证得结论成立．
【解析】
（Ⅰ）由题意可得：2an+1 +Sn-2=0，①
n≥2时，2an-1+sn-1-2=0．     ②
①─②得 2an+1 -an =0，故=（n≥2）．
再由a1=1，可得a2=．
∴{an}是首项为1，公比为的等比数列，
∴an=．  …（4分）
（Ⅱ）∵Sn ==2-，
∴=2-+λn+=2+λn+（ λ-2）． 
欲使 {}成等差数列，只须λ-2=0，即λ=2便可．
故存在实数λ=2，使得数列{}成等差数列．…（9分）
（Ⅲ）∵==（ -）．
∴Tn == 
=（）+（）+（）+…+（）
==-．
又函数 y==在[1，+∞）上为增函数，可得 ≤＜1，
∴≤-＜1-，即≤＜，即． …（14分）