Question

设数列{a_n}为等差数列，a_n＜a_n+1且前6项的平方和为70，立方和为0．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）在平面直角坐标系内，直线ln的斜率为a_n，且与曲线y=x²相切，与y轴交于B_n，记b_n=|B_n+1B_n|，求b_n；
（3）对于（2）问中数列{b_n}求证：．

Answer

（1）依题意有，由于{an}为等差数列，得到：a1+a6=a2+a5=a3+a4化简得到：
解得首项和公差，从而得出{an}的通项公式；
（2）设ln的方程为y=anx+m，将直线的方程代入圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合直线与曲线相切即可求得，从而求得求bn解决问题．
（3）先利用|sinb1+sinb2+…+sinbn|===，再结合三角函数的性质即可证得结论．
【解析】
（1）依题意有
∵{an}为等差数列，∴a1+a6=a2+a5=a3+a4
若a1+a6＞0，则a13+a63=（a1+a6）（a12+a1a6+a62）＞0
∴a13+a23+…+a63＞0同理，若a1+a6＜0，则a13+a23+…+a63＜0
∴a1+a6=a2+a5=a3+a4=0⇒a12+a22+…+a62=2（a12+a22+a32）=70
设{an}的公差为d，an＜an+1
∴d＞0

得∴an=2n-7
（2）设ln的方程为y=anx+m由得x2-anx-m=0
∵直线与曲线相切∴△=0
∴；
（3）|sinb1+sinb2+…+sinbn|=
=
=
∵cos5＞0，
∴
∴