Question

已知点A、B、C在球心为O的球面上，△ABC的内角A、B、C所对边长为a，b，c，且a²=b²+c²+bc，，球心O到截面ABC的距离为，则该球的表面积为    ．

Answer

利用余弦定理表示出cosA，把已知的等式a2=b2+c2+bc变形后代入，求出cosA的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而得到sinA的值，再由a，利用正弦定理求出三角形外接圆的半径，再由球心到截面ABC的距离d，利用勾股定理求出球的半径R，利用球的表面积公式S=4πR2即可求出该球的表面积．
【解析】
∵a2=b2+c2+bc，即b2+c2-a2=-bc，
∴cosA==，又A为三角形的内角，
∴A=，
∴sinA=，
由正弦定理得：2r==2，（r为△ABC的外接圆半径），
即r=1，
又球心O到截面ABC的距离d=，
∴球的半径为R==2，
则该球的表面积S=4•π•R2=16π．
故答案为：16π