Question

已知直线y=-x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l：x-2y=0上．
（Ⅰ）求此椭圆的离心率；
（Ⅱ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x²+y²=4上，求此椭圆的方程．

Answer

（Ⅰ）设出A、B两点的坐标，由方程组得关于x的一元二次方程；由根与系数的关系，可得x1+x2，y1+y2；从而得线段AB的中点坐标，代入直线l的方程x-2y=0，得出a、c的关系，从而求得椭圆的离心率．
（Ⅱ）设椭圆的右焦点坐标为F（b，0），F关于直线l：x-2y=0的对称点为（x，y），则由互为对称点的连线被对称轴垂直平分，可得方程组，解得x、y；代入圆的方程 x2+y2=4，得出b的值，从而得椭圆的方程．
【解析】
（Ⅰ）设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
则由得：（a2+b2）x2-2a2x+a2-a2b2=0，
由根与系数的关系，得，
且判别式△=4a2b2（a2+b2-1）＞0，即a2+b2-1＞0（*）；
∴线段AB的中点坐标为（）．
由已知得，
∴a2=2b2=2（a2-c2），∴a2=2c2；故椭圆的离心率为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=c，从而椭圆的右焦点坐标为F（b，0），
设F（b，0）关于直线l：x-2y=0的对称点为（x，y），
则且，
解得．
由已知得 x2+y2=4，∴，
∴b2=4，代入（Ⅰ）中（*）满足条件
故所求的椭圆方程为．