Question

已知数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ+2（n≥2），a₁=2．
①求a₂，a₃，a₄；
②是否存在一个实数λ，使得数列成等差数列，若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；
③求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer

①直接根据条件an=2an-1+2n+2（n≥2），a1=2把n=2，3，4代入即可求解；
②先假设其存在，然后根据等差数列对应的相邻两项的差为常数即可求出λ的值；
③先根据②的结论求出数列{an}的通项公式，再借助于分组求和以及错位相减求和即可求出结论．
【解析】
①a2=2×2+22+2=10；
a3=2×10+23+2=30；
a4=2×30+24+2=78．
②假设存在一个实数λ，使数列成等差数列，
则===恒为常数
∴2-λ=0即  λ=2
此时 ，
∴λ=2时，数列是首项为2，公差为1的等差数列．
③由②得
得an=（n+1）2n-2
所以：Sn=（2×21-2）+（3×22-2）+（4×23-2）+…+[（n+1）2n-2]
=[2×21+3×22+4×23+…+（n+1）2n]-2n
令 m=2×21+3×22+4×23+…+（n+1）2n…①
2m=2×22+3×23+4×24+…+（n+1）2n+1…②
①--②得：-m=2×21+（22+23+…+2n）-（n+1）2n+1=
得m=n×2n+1
∴Sn=n×2n+1-2n