Question

已知函数f（x）=|x-a|+|x+a|+|x-b|+|x+b|-c，若存在正常数m，使f（m）=0，则不等式f（x）＜f（m）的解集是    ．

Answer

由于利用绝对值的性质可得f（x）≥2|a|+2|b|-c，存在正常数m，使f（m）=0，故2|a|+2|b|-c＜0．画出函数f（x）的图象，数形结合可得不等式f（x）＜f（m）的解集．
【解析】
因为f（-x）=|x-a|+|x+a|+|x-b|+|x+b|-c=f（x），故函数f（x）为偶函数，它的图象关于y轴对称．
又因为f（x）=|x-a|+|x+a|+|x-b|+|x+b|-c=|a-x|+|x+a|+|b-x|+|x+b|-c≥2|a|+2|b|-c，
由于存在正常数m，使f（m）=0，故2|a|+2|b|-c＜0．（否则，当2|a|+2|b|-c≥0时，不在正常数m，使f（m）=0）．
不妨设0＜a＜b，
①当-a≤x≤a时，f（x）=2|a|+2|b|-c=2a+2b-c，
②当b＞x＞a  时，f（x）=2x+2b-c，
③当x＞b时，f（x）=4x-c，
再根据此函数为偶函数，预想关于y轴对称，画出函数f（x）在R上的图象，如图所示：
数形结合可得不等式f（x）＜f（m）的解集是（-m，m），
故答案为 （-m，m ）．