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满分5
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高中数学试题
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设数列{an}的前n项和为Sn,已知(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公...
设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,已知
(n∈N
*
).
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设
,数列{b
n
}的前n项和为B
n
,若存在整数m,使对任意n∈N
*
且n≥2,都有
成立,求m的最大值;
(3)令
,数列{c
n
}的前n项和为T
n
,求证:当n∈N
*
且n≥2时,
.
(1)由条件可得,再化为 ,可得数列是公差为1的等差数列,求出a1的值,即可求得数列{an}的通项公式. (2)因为=,则,令,化简 f(n+1)-f(n),再用放缩法证明它大于零,可得 数列{f(n)}为递增数列,由此求得它的最小值,由求得m的最大值. (3)因为,则当n≥2时,化简T2n为,再通过证明当x>0时,,来证明. (1)由,得(n≥2). 两式相减,得,即(n≥2). 于是,所以数列是公差为1的等差数列.(2分) 又,所以a1=4. 所以,故.(4分) (2)因为=,则. 令,则. 所以=. 即f(n+1)>f(n),所以数列{f(n)}为递增数列.(7分) 所以当n≥2时,f(n)的最小值为. 据题意,,即m<19.又m为整数,故m的最大值为18.(8分) (3)因为,则当n≥2时,==.(9分) 下面证 先证一个不等式,当x>0时, 令,则, ∴g(x)在(0,+∞)时单调递增,g(x)>g(0)=0,即当x>0时, 令,,,,…, 以上n个式相加,即有 ∴. (14分)
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考点分析:
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2
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.如果定义域为R的函数f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=|x-a
2
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2
+x+1)
=1;(x
2
+x+1)
1
=x
2
+x+1;(x
2
+x+1)
2
=x
4
+2x
3
+3x
2
+2x+1;(x
2
+x+1)
3
=x
6
+3x
5
+6x
4
+7x
3
+6x
2
+3x+1;…;可能以推测,(x
2
+x+1)
5
展开式中,第五、六、七项的系数和是
.
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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