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设数列{an}的前n项和为Sn,已知(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公...

设数列{an}的前n项和为Sn,已知manfen5.com 满分网(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设manfen5.com 满分网,数列{bn}的前n项和为Bn,若存在整数m,使对任意n∈N*且n≥2,都有manfen5.com 满分网成立,求m的最大值;
(3)令manfen5.com 满分网,数列{cn}的前n项和为Tn,求证:当n∈N*且n≥2时,manfen5.com 满分网
(1)由条件可得,再化为 ,可得数列是公差为1的等差数列,求出a1的值,即可求得数列{an}的通项公式. (2)因为=,则,令,化简 f(n+1)-f(n),再用放缩法证明它大于零,可得 数列{f(n)}为递增数列,由此求得它的最小值,由求得m的最大值. (3)因为,则当n≥2时,化简T2n为,再通过证明当x>0时,,来证明. (1)由,得(n≥2). 两式相减,得,即(n≥2). 于是,所以数列是公差为1的等差数列.(2分) 又,所以a1=4. 所以,故.(4分) (2)因为=,则. 令,则. 所以=. 即f(n+1)>f(n),所以数列{f(n)}为递增数列.(7分) 所以当n≥2时,f(n)的最小值为. 据题意,,即m<19.又m为整数,故m的最大值为18.(8分) (3)因为,则当n≥2时,==.(9分) 下面证 先证一个不等式,当x>0时, 令,则, ∴g(x)在(0,+∞)时单调递增,g(x)>g(0)=0,即当x>0时, 令,,,,…, 以上n个式相加,即有 ∴.               (14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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