Question

已知如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABC，垂足G在AD上，且，E是BC的中点．
（1）求证：PC⊥BG；
（2）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；
（3）若F是PC上一点，且的值．

Answer

（1）由已知PG⊥底面ABCD，可得PG⊥BG，结合BG⊥CG，可证得BG⊥面PGC，从而有PC⊥BG；
（2）以G为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，求得，的坐标，利用向量的夹角公式即可求得异面直线GE与PC所成角的余弦值；
（3）设CF=λCP，求得点F与点D的坐标，从而得到、的坐标，由DF⊥GC即可求得的值．
证明：（1）因为PG⊥底面ABCD，
所以 PG⊥BG，又BG⊥CG，所以BG⊥面PGC，
所以PC⊥BG．                                    （4分）
（2）建立如图空间直角坐标系，各点坐标如图所示，=（1，1，0），=（0，2，-4）
∴|cos＜，＞|=||=．      （8分）
（3）设CF=λCP，
则点F（0，2-2λ，4λ），又D（-，，0），
∴=（，-2λ，4λ），=（0，2，0），
由DF⊥GC得•=0，
∴2（-2λ）=0．
得，
∴=（14分）