Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量=（a，），=（cosC，c-2b），且⊥．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．

Answer

（Ⅰ）利用向量的垂直，推出数量积为0，通过三角形内角和以及两角和的正弦函数，确定角A的大小；
（Ⅱ）若a=1，利用正弦定理求出b、c的表达式，通过三角形的内角和以及两角和的正弦函数化简表达式，根据角的范围，确定三角函数的范围，然后求△ABC的周长l的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由题意⊥．可知：，
即acosC+=b，得sinAcosC+sinC=sinB．
又sinB=sin（A+C）=sinAcosB+cosAsinC．
∴，∵sinC≠0，∴cosA=．
又0＜A＜π∴A=．
（Ⅱ）由正弦定理得：b=，，
l=a+b+c=1+=1+
=1+2（）
=1+2sin（B+）．
∵A=．
∴B∈，∴B+，
∴sin（B+）．
故△ABC的周长l的范围为（2，3]．