Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0），其焦点F到直线x-y-1=0的距离为．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若△ABC的三个顶点在抛物线C上，顶点B 的横坐标为1，且直线BA，BC的倾斜角互为补角，过点A、C分别作抛物线C 的切线，两切线相交于点D，当△ADC面积等于4时，求直线BC的斜率．

Answer

（Ⅰ）根据抛物线的焦点F到直线x-y-1=0的距离为，可得，从而可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）可得B（1，1），设A（x1，），C（x2，），将直线AB、BC方程与抛物线方程联立，确定A、C的坐标，设出DC，AD的方程，联立解得D的坐标，表示出△ACD的面积，进而可确定直线BC的斜率．
【解析】
（Ⅰ）抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F（0，）
∵焦点F到直线x-y-1=0的距离为
∴
∴
∴抛物线C的方程为x2=y；
（Ⅱ）∵△ABC的三个顶点在抛物线C上，顶点B 的横坐标为1，
∴B（1，1）
设A（x1，），C（x2，），直线BC方程为y-1=k（x-1）
由，消去y可得x2-kx+k-1=0
∴1+x2=k，∴x2=k-1，∴C（k-1，（k-1）2）
同理A（-k-1，（k+1）2），线段AC的中点M的坐标为（-1，k2+1）
y′=2x，则设DC：y-（k-1）2=2（k-1）（x-k+1）；AD：y-（k+1）2=-2（k+1）（x+k+1）
联立解得D（-1，1-k2）
连接DM，则|DM|=2k2
∴△ACD的面积S=
当k≥2时，S=k2（2k-2）＞8＞4，所以k无解；
当0≤k＜2时，S=2k2=4，解得k=；
当k＜0时，S=k2（2-2k）=4，解得k=-1，
综上所述，直线BC的斜率为或-1