Question

已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

（1）求证：BN⊥平面C₁B₁N；
（2）；
（3）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP∥平面CNB₁并求．

Answer

（1）该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，BA，BC，BB1两两垂直． 以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系
，证出=0，=0后即可证明BN⊥平面C1B1N；
（2）求出平面NCB1的一个法向量，利用与此法向量的夹角求出直线C1N与平面CNB1所成的角
（3）设P（0，0，a）为BC上一点，由MP∥平面CNB1，得知⊥，利用向量数量积为0求出a的值，并求出．
（1）证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
∴BA，BC，BB1两两垂直．                              …（2分）
以B为坐标原点，分别以BA，BC，BB1所在直线别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则N（4，4，0），B1（0，8，0），C1（0，8，4），C（0，0，4）
∵=（4，4，0）•（-4，4，0）=-16+16=0
=（4，4，0）•（0，0，4）=0
∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1与B1C1相交于B1，
∴BN⊥平面C1B1N；   …（4分）
（2）【解析】
设n2=（x，y，z）为平面NCB1的一个法向量，
则  
则；…（8分）
（3）∵M（2，0，0）．设P（0，0，a）为BC上一点，则，∵MP∥平面CNB1，
∴．
又PM⊄平面CNB1，∴MP∥平面CNB1，
∴当PB=1时，MP∥平面CNB1
∴…（12分）