Question

已知函数．
（1）当时，求f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，若在区间[2，+∞）上存在一点x，使得f（x）＜g（x）成立，求b的取值范围．

Answer

（1）求导函数，将问题转化为讨论的符号，分类讨论即可；
（2）考查反面情况：∀x∈[2，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即在x∈[2，+∞）上恒成立，确定函数的最小值即可，再取其补集可得结论．
【解析】
（1），因eax＞0且，故只需讨论的符号
所以 ①当时，f′（x）≥0，f（x）在区间（-∞，+∞）上为增函数
②当时，令f′（x）=0解得．
当x变化时，f'（x）和f（x）的变化情况如下表：

x
f'（x） + - +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

∴f（x）在，，为增函数，
f（x）在为减函数．                           …（6分）
（2）考查反面情况：∀x∈[2，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，
即在x∈[2，+∞）上恒成立．
首先，即，其次，，考虑
因在x∈[2，+∞）上恒成立，
所以，
所以当时，，故h（x）在x∈[2，+∞）上单调递增，
又h（2）≥0，所以在x∈[2，+∞）上恒成立，所以，
综上…（14分）