Question

在等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中，a₁=1，b₁=2，b_n＞0（n∈N^*），且b₁，a₂，b₂成等差数列，a₂，b₂，a₃+2成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，数列{c_n}的前n和为S_n，若恒成立，求常数t的取值范围．

Answer

（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q（q＞0）．由题意，得，由此能求出数列{an}、{bn}的通项公式．
（Ⅱ）由．知Sn=c1+c2+…+cn=2（31+32+…+3n）-2n=3n+1-2n-3．由此能求出常数t的取值范围．
（本题满分14分）
【解析】
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q（q＞0）．
由题意，得，解得d=q=3．    …（3分）
∴an=3n-2，．              …（7分）
（Ⅱ）．      …（9分）
∴Sn=c1+c2+…+cn=2（31+32+…+3n）-2n=3n+1-2n-3．…（11分）
∴．                 …（12分）
∴3n+1＞3n-2+t恒成立，即t＜（3n-3n+3）min．
令f（n）=3n-3n+3，则f（n+1）-f（n）=2•3n-3＞0，
所以f（n）单调递增．
故t＜f（1）=3，
即常数t的取值范围是（-∞，3）． …（14分）