Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均为2，侧面BCC₁B₁⊥底面ABC，侧棱BB₁与底面ABC所成的角为60°．
（Ⅰ）求直线A₁C与底面ABC所成的角；
（Ⅱ）在线段A₁C₁上是否存在点P，使得平面B₁CP⊥平面ACC₁A₁？若存在，求出C₁P的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）过B1作B1O⊥BC于O，证明B1O⊥平面ABC，以O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，求出A，B，C，A1，B1，C1坐标，底面ABC的法向量，设直线A1C与底面ABC所成的角为θ，通过，求出直线A1C与底面ABC所成的角．
（Ⅱ）假设在线段A1C1上存在点P，设=，通过求出平面B1CP的法向量，利用求出平面ACC1A1的法向量，通过=0，求出．．求解．
（本题满分14分）
【解析】
（Ⅰ）过B1作B1O⊥BC于O，
∵侧面BCC1B1⊥平面ABC，
∴B1O⊥平面ABC，
∴∠B1BC=60°．
又∵BCC1B1是菱形，∴O为BC的中点．…（2分）
以O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
则，B（0，-1，0），C（0，1，0），，，
∴，又底面ABC的法向量…（4分）
设直线A1C与底面ABC所成的角为θ，
则，∴θ=45°
所以，直线A1C与底面ABC所成的角为45°．                     …（7分）
（Ⅱ）假设在线段A1C1上存在点P，设=，
则，，
．…（8分）
设平面B1CP的法向量，
则．
令z=1，则，，∴．         …（10分）
设平面ACC1A1的法向量，
则
令z=1，则，x=1，∴．           …（12分）
要使平面B1CP⊥平面ACC1A1，
则==．
∴．∴．                             …（14分）