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已知函数,且f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)),n=1,2,...

已知函数manfen5.com 满分网,且f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)),n=1,2,3,….则满足方程fn(x)=x的根的个数为( )
A.2n个
B.2n2
C.2n
D.2(2n-1)个
本题考查的知识点是归纳推理,方法是根据已知条件和递推关系,先求出f的1阶根的个数,2阶根的个数,然后总结归纳其中的规律,f的n阶根的个数. 【解析】 当x∈[0,]时,f1(x)=f(x)=2x=x,解得x=0; 当x∈(,1]时,f1(x)=f(x)=2-2x=x,解得x=, ∴f的1阶根的个数是2. 当x∈[0,]时,f1(x)=f(x)=2x,f2(x)=4x=x,解得x=0; 当x∈(,]时,f1(x)=f(x)=2x,f2(x)=2-4x=x,解得x=; 当x∈(,]时,f1(x)=2-2x,f2(x)=-2+4x=x,解得x=; 当x∈(,1]时,f1(x)=2-2x,f2(x)=4-4x=x,解得x=. ∴f的2阶根的个数是22. 依此类推 ∴f的n阶根的个数是2n. 故选C.
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考点分析:
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B.①③
C.②③
D.①④
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