Question

已知函数，且f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x）），n=1，2，3，…．则满足方程f_n（x）=x的根的个数为（ ）
A．2n个
B．2n²个
C．2ⁿ个
D．2（2ⁿ-1）个

Answer

本题考查的知识点是归纳推理，方法是根据已知条件和递推关系，先求出f的1阶根的个数，2阶根的个数，然后总结归纳其中的规律，f的n阶根的个数．
【解析】
当x∈[0，]时，f1（x）=f（x）=2x=x，解得x=0；
当x∈（，1]时，f1（x）=f（x）=2-2x=x，解得x=，
∴f的1阶根的个数是2．
当x∈[0，]时，f1（x）=f（x）=2x，f2（x）=4x=x，解得x=0；
当x∈（，]时，f1（x）=f（x）=2x，f2（x）=2-4x=x，解得x=；
当x∈（，]时，f1（x）=2-2x，f2（x）=-2+4x=x，解得x=；
当x∈（，1]时，f1（x）=2-2x，f2（x）=4-4x=x，解得x=．
∴f的2阶根的个数是22．
依此类推
∴f的n阶根的个数是2n．
故选C．