Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BA⊥BC．
（1）若BA=BB₁，求证：AB₁⊥平面A₁BC；
（2）若BA=BC=BB₁=2，M是棱BC上的一动点．试确定点M的位置，使点M到平面A₁B₁C的距离等于．

Answer

（1）当BA=BB1时，AB1⊥A1B．由BC⊥BA，BC⊥BB1，且BA∩BB1=B，知BC⊥平面ABB1．由此能证明AB1⊥平面A1BC．
（2）建立空间直角坐标系，得C（0，0，2）、B1（0，2，0）、A1（2，2，0）、设M（0，0，h）．设平面A1B1C的法向量为，则，．得平面A1B1C的一个法向量为，由此能求出点M到平面A1B1C的距离．
（1）证明：当BA=BB1时，AB1⊥A1B．
又∵BC⊥BA，BC⊥BB1，且BA∩BB1=B，
∴BC⊥平面ABB1．
而AB1⊂平面ABB1，∴AB1⊥BC．
∴由，
得到AB1⊥平面A1BC．
（2）【解析】
如图所示，建立空间直角坐标系，
可得有关点的坐标为C（0，0，2）、B1（0，2，0）、A1（2，2，0），
设M（0，0，h）．设平面A1B1C的法向量为，
则，．
∵=（0，2，-2），，
且，
∴，∴，取ω=v=1，
得平面A1B1C的一个法向量为，
且，又∵，
于是点M到平面A1B1C的距离，或h=3（舍）
所以，当点M为棱BC的中点时，点M到平面A1B1C的距离等于．