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已知椭圆manfen5.com 满分网,左右焦点分别为F1,F2,长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形,直线l经过点F2,倾斜角为45°,与椭圆交于A,B两点.
(1)若|F1F2|=2manfen5.com 满分网,求椭圆方程;
(2)对(1)中椭圆,求△ABF1的面积;
(3)M是椭圆上任意一点,若存在实数λ,μ,使得manfen5.com 满分网,试确定λ,μ的关系式.
(1)利用长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形,|F1F2|=2,即可求椭圆方程; (2)△ABF1的面积,可以以焦距长为底,A、B纵坐标差的绝对值为高进行求解; (3)确定椭圆的右焦点F的坐标,设出直线AB所在直线方程为,与椭圆方程联立,利用韦达定理及,同时利用点A,B在椭圆上,即可求得λ,μ的关系式. 【解析】 (1)由已知,可得,, ∵a2=b2+c2,∴,b=1, ∴椭圆方程为. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线, 代入椭圆方程,消去y可得, ∴,,,, ∴. (3)由已知椭圆方程为x2+3y2=3b2①,右焦点F的坐标为,直线AB所在直线方程为②, 由①②得:, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则,, 设M(x,y),由得,x=λx1+μx2,y=λy1+μy2, ∵点M在椭圆上,∴, 整理得:,③ ④, 又点A,B在椭圆上,故⑤,⑥, 将④⑤⑥代入③得λ2+μ2=1.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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