Question

设函数f（x）=ln（ax²+1）．若f（x）=lnax有唯一的零点x（x∈R），则实数a=    ．

Answer

根据函数f（x）=ln（ax2+1）=lnax，可知道f（x）=lnax有唯一的零点x（x∈R），等价于ln=0有唯一的零点x，从而进行求解；
【解析】
∵函数f（x）=ln（ax2+1）．又f（x）=lnax（a≠0），
∴ln（ax2+1）=lnax，
∵f（x）=lnax有唯一的零点x（x∈R），
∴ln（ax2+1）-lnax=0有唯一的零点x（x∈R），
∴方程ln=0，有唯一的零点x，
可得=1，∴ax2-ax+1=0，（a≠0）
只有唯一的零点x（x∈R），
∴△=（-a）2-4a=0，
∴a=4（a=0舍去），
∴a=4，
故答案为4；