Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DA，E，F分别是AB，PB的中点．
（1）求异面直线EF与PD所成角的大小；
（2）当EF=时，求在四棱锥F-ABCD的体积．

Answer

（1）利用三角形的中位线性质可得∠APD为异面直线EF与PD所成的角或补角，证明△ADP是等腰直角三角形，可得异面直线EF与PD所成角的大小．
（2）【解析】
由（1）知，EF=AP，且 EF=，AP=2．判断点F到底面ABCD的距离为PD=1，由此求得四棱锥F-ABCD的体积．
【解析】
（1）∵E，F分别是AB，PB的中点，∴EF∥AP．
∴∠APD为异面直线EF与PD所成的角或补角．
∵PD⊥底面ABCD，PD=AD，
∴△ADP是等腰直角三角形，
∴∠APD=45°，
∴异面直线EF与PD所成角的大小为45°．
（2）【解析】
由（1）知，EF=AP，且 EF=，
∴AP=2．
又由题意知，△PAD为等腰直角三角形，
∴PD=AD=2．
又∵点F为PB的中点，
∴点F到底面ABCD的距离为PD=1．
∴四棱锥F-ABCD的体积为 =．