Question

记数列{a_n}的前n项和为S_n．已知向量（n∈N^* ）和 （n∈N^* ）满足．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求S₃₀；
（3）设b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项的和为T_n．

Answer

（1）由已知可得 an=，且 λ=，故an=（）•=cos．
（2）根据数列{an}的前几项分别为1，-，-，1，-，-，1，-，-，…可得{an}为周期为3的周期数列，且 a3k-2+a3k-1+a3k=0，k∈z，由此求得S30 的值．
（3）根据bn=nan =n cos，分 n=3k，n=3k-1，n=3k-2，分别求出数列{bn}的前n项的和为Tn．
【解析】
（1）∵，∴=λ=，再由，
可得 an=，且 λ=．
∴an=（）•==cos．
（2）数列{an}的前几项分别为1，-，-，1，-，-，1，-，-，…为周期为3的周期数列，
且 a3k-2+a3k-1+a3k=0，k∈z． 
故 S30 =0．
（3）∵bn=nan =n cos，故当 n=3k，k∈N* 时，
∵b3k-2+b3k-1+b3k=（3k-2）（-）+（3k-1）（-）+3k•1=，
∴Tn=T3k===．
当 n=3k-1，k∈N*时，Tn=T3k-1=T3k-b3k=-3k•1=-=-•=-．
当 n=3k-2，k∈N* 时，
Tn=T3k-2-b3k-b3k-1=-3k-（3k-1）（-）=-+=-．
故 Tn=．