Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且S₁，2S₂，3S₃成等差数列．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）设b_n=a_n+n，求数列{b_n}前n项和T_n．

Answer

（1）设出等比数列{an}的公比为q，若q为1，由首项a1，利用等比数列的求和公式分别表示出S1，2S2，3S3，得到S1，2S2，3S3不成等差数列，矛盾，故q不为1，利用等比数列的求和公式分别表示出S1，2S2，3S3，根据S1，2S2，3S3成等差数列，利用等差数列的性质列出关于q的方程，求出方程的解得到q的值，首项a1及q的值，利用等比数列的通项公式即可得到数列{an}通项公式；
（2）将第一问得出的数列{an}通项公式代入bn=an+n中，得到数列{bn}的通项公式，列举出数列{bn}前n项和Tn的每一项，结合后根据数列{an}的前n项和Sn以及等差数列的求和公式进行变形，即可表示出数列{bn}前n项和Tn．
【解析】
（1）设数列{an}的公比为q，…（1分）
若q=1，则S1=a1=1，2S2=4a1=4，3S3=9a1=9，故S1+3S3=10≠2×2S2，与已知矛盾，故q≠1，…（2分）
∴Sn==，…（4分）
由S1，2S2，3S3成等差数列，得S1+3S3=2×2S2，
即1+3×=4×，
解得：q=，…（5分）
则an=a1•qn-1=（）n-1；…（6分）
（2）由（1）得，bn=an+n=（）n-1+n，…（7分）
所以Tn=（a1+1）+（a2+2）+…+（an+n）
=Sn+（1+2+…+n）=+…（10分）
=+=．…（12分）