Question

已知函数．
（1）设a=1时，求函数f（x）极大值和极小值；
（2）a∈R时讨论函数f（x）的单调区间．

Answer

（1）a=1，f（x）=-3x+ln（2x+1），x＞-，可求得f′（x）=，通过将x、f（x）、f′（x）的变化情况列表可求得函数f（x）极大值和极小值；
（2）求得f′（x）=，通过比较2a与-，2a与的大小，分类讨论，利用函数单调性与极值之间的关系即可求得函数f（x）的单调区间．
【解析】
（1）∵a=1，
∴f（x）=-3x+ln（2x+1），x＞-，
f'（x）=x-3+==，…（1分）
令f'（x）=0，则x=或x=2…（2分）
x、f（x）、f′（x）的变化情况如下表：

x （-，） （，2） 2 （2，+∞）
f'（x） +      0 -    0 +
f（x） ↗ 极大 ↙   极小 ↗

…（4分）
由上表可得：，…（5分）
（2）f'（x）=x-（1+2a）+==
令f'（x）=0，则x=或x=2a…（6分）
i、当2a＞，即a＞时，

x （-，） （，2a） 2a （2a，+∞）
f'（x） +      0 -    0 +
f（x） ↗ ↙ ↗

所以f（x）的增区间为（-，）和（2a，+∞），减区间为（，2a）…（8分）
ii、当2a=，即a=时，f'（x）=≥0在（，+∞）上恒成立，
所以f（x）的增区间为（，+∞）…（10分）
iii、当-＜2a＜，即-＜a＜时，

x （-，2a） 2a （2a，） （，+∞）
f'（x） +      0 - +
f（x） ↗ ↙ ↗

所以f（x）的增区间为（-，2a）和（，+∞），减区间为（2a，）…（12分）
iv、当2a≤-，即a≤-时，

x （-，） （，+∞）
f'（x） -      0 +
f（x） ↙ ↗

所以f（x）的增区间为（，+∞），减区间为（-，）…（14分）
综上述：a≤-时，f（x）的增区间为（，+∞），减区间为（-，）-＜a＜时，f（x）的增区间为（-，2a）和（，+∞），减区间为（2a，）a=时，f（x）的增区间为（，+∞）a＞时，f（x）的增区间为（-，）和（2a，+∞），减区间为（，2a）
说明：如果前面过程完整，最后没有综上述，可不扣分