Question

如图，P是抛物线C：上横坐标大于零的一点，直线l过点P并与抛物线C在点P处的切线垂直，直线l与抛物线C相交于另一点Q．
（1）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；
（2）若，求过点P，Q，O的圆的方程．

Answer

（Ⅰ）先求点P的坐标，利用导数求过点P的切线的斜率，从而可得直线l的斜率，即可求出直线l的方程；
（Ⅱ）设P（x，y），求出直线l的方程为 ，利用，可得过点P，Q，O的圆的圆心为PQ的中点，将直线与抛物线联立，即可求出PQ的中点的坐标与圆的半径，从而可得过点P，Q，O的圆的方程．
【解析】
（Ⅰ）把x=2代入，得y=2，∴点P的坐标为（2，2）．…（1分）
由 ，①得y'=x，
∴过点P的切线的斜率k切=2，…（2分）
直线l的斜率k1==，…（3分）
∴直线l的方程为y-2=，即x+2y-6=0…（4分）
（Ⅱ）设P（x，y），则．
∵过点P的切线斜率k切=x，因为x≠0．
∴直线l的斜率k1==，
直线l的方程为 ．②…（5分）
设Q（x1，y1），且M（x，y）为PQ的中点，
因为，所以过点P，Q，O的圆的圆心为M（x，y），半径为r=|PM|，…（6分）
且，…（8分）
所以xx1=0（舍去）或xx1=-4…（9分）
联立①②消去y，得
由题意知x，x1为方程的两根，
所以，又因为x＞0，所以，y=1；
所以，y1=4…（11分）
∵M是PQ的中点，∴…（12分）
∴…（13分）
所以过点P，Q，O的圆的方程为…（14分）