Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，正数数列{b_n}中b₂=e，（e为自然对数的底≈2.718）且∀n∈N^*总有2^n-1是S_n与a_n的等差中项，的等比中项．
（1）求证：∀n∈N^*有；
（2）求证：∀n∈N^*有．

Answer

（1）先由条件求出a1=1，进而求出 an+1=，可得an=，根据an+1-2n ＜0，以及an+1-an ＞0，可得结论成立．
（2）先由（1）求出b1=，再证明an ≤2n-1-1，3an -1＞2n-1．要证不等式成立，只要证 2n-1-1＜lnb1+lnb2+…+lnbn＜2n-1 即可．先证当n=1时，
不等式成立，当n≥2时，用放缩法证明 lnb1+lnb2+…+lnbn＞0+1+2+…+2n-2=2n-1-1≥．再用放缩法证明∴lnb1+lnb2+…+lnbn＜2n-1＜3an -1，
从而证得要证的不等式成立．
【解析】
（1）证明：∵2n-1是Sn与an的等差中项，∴2n=Sn +an，∴Sn=2n-an，∴a1=s1=2-a1，∴a1=1．
由Sn=2n-an，可得 sn+1=2n+1-an+1，想减可得 an+1=sn+1-Sn=2n+1-2n-an+1+an．
化简可得 2an+1=2n+an．
变形可得 2n+1 an+1-2n an =4n，故数列{ 2n+1 an+1-2n an }构成等比数列，
故它的前n项和为 （ 2n+1 an+1-2n an ）+（2nan-2n-1an-1）+…+（22a2-2a1）=4n+4n-1+…+4=，
即 an+1=，故 an=．
∴an+1-2n=（）＜0，an+1-an=（ ）-（）=（2n+1-）＞0，
∴成立．
（2）证明：由（1）得的等比中项，∴bn+1=bn （bn+1）．再由b2=e，bn＞0，∴b1=．
∵an=，=2n-1--≤2n-1-1，
3an -1=3（）-1=-1＞2n-1．
要证，只要证 2n-1-1＜lnb1+lnb2+…+lnbn＜2n-1即可．
∵的等比中项，等价于 ．
∵4e＞8，∴b1＞=1，b1+1=＜e．
∴lnb1＞ln1=0=21-1-1，lnb1＜ln（b1+1）＜1=21-1，故当n=1时，所证的不等式成立．
当n≥2时，＞，∴lnbn+1＞2lnbn．
∴lnbn＞2lnbn-1＞…＞2n-2lnb2=2n-2．
∴lnb1+lnb2+…+lnbn＞0+1+2+…+2n-2=2n-1-1≥．
再由 ln（bn+1+1）=ln（+1）＜ln（ +1+bn）=ln=2ln 可得
 ln（bn+1）＜2ln（bn-1+1）＜22ln（bn-2+1）＜…＜2n-1 ln（b1+1）＜2n-1．
∴lnb1+lnb2+…+lnbn＜ln（b1+1）+ln（b2+1）+…+ln（bn+1）＜1+2+22+…+2n-1=2n-1＜3an -1．
综上所述，总有成立．