Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为长方形，AD=2AB，点E、F分别是线段PD、PC的中点．
（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；
（Ⅱ）在线段AD上是否存在一点O，使得BO⊥平面PAC，若存在，请指出点O的位置，并证明BO⊥平面PAC；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）根据平行线的传递性，得到EF∥AB，再结合线面平行的判定定理，可得EF∥平面PAB．
（II）在线段AD上存在靠A点较近的一个四等分点O，使得BO⊥平面PAC．先在长方形ABCD中，证出△ABO∽△ADC，利用角互余的关系，得到AC⊥BO，再利用线面垂直的判定定理，可证出PA⊥BO，结合PA、AC是平面PAC内的相交直线，最终得到BO⊥平面PAC．
证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为长方形，
∴CD∥AB，
∵EF∥CD，∴EF∥AB，
又∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴EF∥平面PAB． …（6分）
（Ⅱ） 在线段AD上存在一点O，使得BO⊥平面PAC，
此时点O为线段AD的四等分点，满足，…（8分）
∵长方形ABCD中，
∠BAO=∠ADC=90°，=
∴△ABO∽△ADC，
∴∠ABO+∠CAB=∠DAC+∠CAB=90°，
∴AC⊥BO，（10分）
又∵PA⊥底面ABCD，BO⊂底面ABCD，
∴PA⊥BO，
∵PA∩AC=A，PA、AC⊂平面PAC
∴BO⊥平面PAC．（12分）