Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（I）求角B的大小；
（II）设向量=（sinA，cos2A），=（2cosA，1），f（A）=•，求f（A）取得最大值和最小值时A的值．

Answer

（I）先利用正弦定理将（2a-c）cosB=bcosC中的边化为角，再利用两角和的正弦公式将三角函数式化简即可得cosB=，从而由角B的范围得B值
（II）先利用向量数量积运算性质，求得函数f（A）的解析式，再利用二倍角公式和两角和的正弦公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）型函数，利用角A的范围，求得f（A）取得最大值和最小值时A的值
【解析】
（I）由正弦定理得；（2a-c）cosB=bcosC⇔（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC
⇔2sinAcosB=sin（B+C）=sinA
∴cosB=，又B∈（0，π）
∴B=
（II）f（A）=•=2sinAcosA+cos2A=sin2A+cos2A=sin（2A+）
由（I）知，0＜A＜，∴＜2A+＜
∴2A+=即A=时，f（A）取最大值
2A+=即A=时，f（A）取最小值-