Question

在一次运动会中，某小组内的甲、乙、丙三名选手进行单循环赛（即每两人比赛一场）共赛三场，每场比赛胜者得1分，输者得0分，、没有平局；在参与的每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．
（I）求甲获得小组第一且丙获得小组第二的概率；
（II）设该小组比赛中甲的得分为ξ，求Eξ．

Answer

（I）已知要求甲获得小组第一且丙获得小组第二的概率，即“甲胜乙、甲胜丙、丙胜乙”同时发生，因为甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，从而求出其概率；
（II）小组比赛中甲的得分为ξ可能值为0、1、2，P（ξ=k），k=0、1、2，再根据期望的公式进行求解；
【解析】
（I）甲获得小组第一，且丙获得第二，则甲应胜两场，丙胜一场，
即“甲胜乙、甲胜丙、丙胜乙”同时发生，
∵甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，
∴甲获得小组第一且丙获得小组第二的概率为××（1-）=，
（II）ξ的可能值为0、1、2，
P（ξ=0）=（1-）（1-）=；
P（ξ=1）=×+×=，
P（ξ=2）=×=，
∴Eξ=0×+1×+2×=．