Question

平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（1，2），B（-3，1）．若点P在线段AB上，且，则有（ ）
A．最小值-16
B．最大值-16
C．最大值16
D．最小值16

Answer

设P（x，y），由A（1，2），B（-3，1）可求得直线AB的方程为x-4y+7=0，再由点P在线段AB上，可求得m+n=1，代入，利用基本不等式即可．
【解析】
设P（x，y），由A（1，2），B（-3，1）得直线AB的斜率k=，由点斜式可得直线AB的方程为x-4y+7=0，
又点P在线段AB上，=m+n，
∴（x，y）=m（1，2）+n（-3，1），m＞0，n＞0
∴，又x-4y+7=0，
∴（m-3n）-4（2m+n）+7=0，
∴m+n=1．又m＞0，n＞0，
∴=（）（m+n）=10++≥10+6=16（当且仅当n=3m，即m=，n=时取到“=”）．
故选D．