Question

在一次运动会中，某小组内的甲、乙、丙三名选手进行单循环赛（即每两人比赛一场）共赛三场，每场比赛胜者得1分，输者得0分，、没有平局；在参与的每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．
（I）求甲获得小组第一且丙获得小组第二的概率；
（II）求三人得分相同的概率．

Answer

（I）甲获得小组第一且丙获得小组第二，即甲胜乙，甲胜丙，丙胜乙，由已知利用相互独立事件的概率乘法公式，即可得到答案．
（II）三人得分相同，即每人胜一场输两场，有以下两种情形：①甲胜乙，乙胜丙，丙胜甲；②甲胜丙，丙胜乙，乙胜甲，代入相互独立事件的概率乘法公式，结合互斥事件概率加法公式，即可得到答案．
【解析】
（I）甲获小组第一且丙获小组第二为事件A，则事件A成立时，甲胜乙，甲胜丙，丙胜乙
∵在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为
∴P（A）=
（II）设三场比赛结束后，三人得分相同为事件B，则每人胜一场输两场，有以下两种情形：甲胜乙，乙胜丙，丙胜甲；甲胜丙，丙胜乙，乙胜甲
其中甲胜乙，乙胜丙，丙胜甲概率P1=；
甲胜丙，丙胜乙，乙胜甲概率P2=
故三人得分相同的概率为P（B）=