Question

已知A、B、C三点均在椭圆M：（a＞1）上，直线AB、AC分别过椭圆的左右焦点F₁、F₂，当，有9．
（I）求椭圆M的方程；
（II）设P是椭圆M上任意一点，求的最大值和最小值．

Answer

（I）由题意可得AF2⊥F1F2． 设|AF2|=m，则|AF1|=2a-m，再由勾股定理可得am=1．利用两个向量的夹角公式求出cos，再利用两个向量的数量积的定义，结合
9 可得 m=，故有 a2=2，由此求得椭圆M的方程．
（II）由上可得 F1（-1，0），F2（1，0），设P（x，y），化简=x2+y2-1，再由 可得 =1-y2．由于-1≤y≤1，0≤y2≤1，
从而得到=1-y2的最大值和最小值．
【解析】
（I）∵，∴，即 AF2⊥F1F2．  设|AF2|=m，则|AF1|=2a-m．
再由勾股定理可得 （2a-m）2=m2+（2c）2 且 c2=a2-1，故 am=1．
又 cos==，∴|AF2|=•|AF1|．
再由 9  可得，9•|AF1|•（•|AF1|）•=，即 =1，
解得 m=，故有 a2=2，故椭圆M的方程为 ．

（II）由上可得 F1（-1，0），F2（1，0），设P（x，y），=（-1-x，-y）•（1-x，-y）=x2+y2-1．
再由P是椭圆M上任意一点， 可得 =1-y2．
由题意可得-1≤y≤1，0≤y2≤1，故=1-y2的最大值为1，最小值等于0．