Question

已知数列{a_n}的前三项与数列{b_n}的前三项对应相同，且a₁+2a₂+2²a₃…+2^n-1a_n=8n对任意的n∈N⁺都成立，数列{b_n+1-b_n}是等差数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列{b_n}的通项公式；
（III）问是否存在k∈N^*，使f（k）=b_k-a_k∈（0，1）？并说明理由．

Answer

（I）利用a1+2a2+22a3+…+2n-1an=8n推出n-1时的表达式，然后作差求出数列{an}的通项公式，
（II）利用数列{bn+1-bn}是等差数列利用累加法求出{bn}的通项公式；
（III）化简bk-ak=k2-7k+14-24-k，通过k≥4时，f（k）=（k-）2+-24-k单调递增，且f（4）=1，所以k≥4时，f（k）≥1，结合f（1）=f（2）=f（3）=0，说明不存在k∈N*，使得bk-ak∈（0，1）．
【解析】
（I）已知a1+2a2+22a3+…+2n-1an=8n（n∈N*）①
n≥2时，a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=8（n-1）（n∈N*）②
①-②得2n-1an=8，解得an=24-n，在①中令n=1，可得a1=8=24-1，
所以an=24-n（n∈N*）（4分）
（II）由题意b1=8，b2=4，b3=2，所以b2-b1=-4，b3-b2=-2，
∴数列{bn+1-bn}的公差为-2-（-4）=2，
∴bn+1-bn=-4+（n-1）×2=2n-6，
bn=b1+（b2-b1）+（b3-b2）+…+（bn-bn-1）
=8+（-4）+（-2）+…+（2n-8）=n2-7n+14（n∈N*）、（8分）
（III）bk-ak=k2-7k+14-24-k，当k≥4时，f（k）=（k-）2+-24-k单调递增，
且f（4）=1，所以k≥4时，f（k）=k2-7k+14-24-k≥1．
又f（1）=f（2）=f（3）=0，所以，不存在k∈N*，使得bk-ak∈（0，1）．（12分）