Question

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2a的正方形，各侧棱均与底面边长相等，E、F分别是PA、PC的中点．
（1）求证：PC∥平面BDE；
（2）求证：平面BDE丄平面BDF；
（3）求四面体E-BDF的体积．

Answer

（1）连接AC交BD于O．连接OE．E、O分别是PA、AC的中点．推出EO∥PC．然后证明PC∥平面BDE．
（2）证明BE⊥PA，DE⊥PA，推出PA⊥平面BDE，然后证明平面BDE⊥平面BDF．
（3）利用VE-BDF=VF-BDE=求出BE、BD，然后求解体积．
【解析】
（1）证明：连接AC交BD于O．连接OE．
在△PAC中，E、O分别是PA、AC的中点．
∴EO∥PC．
∵EO⊂平面BDE，PC⊄平面BDE，
∴PC∥平面BDE．
（2）证明：∵△PAB是等边三角形，且E是PA的中点，
∴BE⊥PA，同理DE⊥PA，
∴PA⊥平面BDE，
在△PAC中，F、O分别是PC、AC中点
∴OF⊥平面BDE，而OF⊂平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BDF．
（3）【解析】
∵OF⊥平面BDE，
∴VE-BDF=VF-BDE=
在等边三角形PAB中，PA=AB=2a，E是PA中点，
∴BE==同理DE=，
∵BD=
在等腰三角形EBD中，EO是底边BD上的高
∴，显然，OF=EO，
∴VE-BDF=VF-BDE=
=．