Question

要制作一个如图的框架（单位：米），要求所围成的面积为6米²，其中ABCD是一个矩形，EFCD是一个等腰梯形，EF=3CD，tan∠FED=，设AB=x米，BC=y米．
（1）求y关于x的表达式；
（2）如何设计x，y的长度，才能使所用材料最少？

Answer

（1）求出梯形的面积，利用所围成的面积为6米2，即可求出y关于x的表达式；
（2）设整个框架用料为l米，则l=（2x+y）+3x+2，利用基本不等式，即可求得所用材料最少．
【解析】
（1）如图，等腰梯形CDEF中，DH是高，则EH=AB=x，DH=EH•tan∠FED=
∴=6，
∴y=
∵x＞0，y＞0
∴＞0，∴0＜x＜2
∴y关于x的表达式为y=（0＜x＜2）
（2）设整个框架用料为l米
Rt△DEH中，∵tan∠FED=，∴cos∠FED=，
∴
∴l=（2x+y）+3x+2=≥
当且仅当，即时取等号
此时y==
∴AB=米，BC=米时，所用材料最少．