Question

设x=1是函数f（x）=的一个极值点（e为自然对数的底）．
（1）求a的值，并求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在闭区间[m，m+1]上的最小值为0，最大值为，且m＞-1．试求m的值．

Answer

（1）求导函数，利用x=1是函数f（x）=的一个极值点，可得f′（1）=0，从而可求a的值，进而可确定函数的单调区间；
（2）由（1）知，，对m进行分类讨论，确定函数的单调性，从而可求函数的最值，利用函数f（x）在闭区间[m，m+1]上的最小值为0，最大值为，即可求m的值．
【解析】
（1）求导函数，可得
∵x=1是函数f（x）=的一个极值点
∴f′（1）=0，∴a=-，∴
令f′（x）＞0，可得或-1＜x＜1；令f′（x）＜0，可得或x＞1；
∴函数的单调增区间为，（-1，1），单调减区间为，（1，+∞）
（2）由（1）知，
∵m＞-1
①当-1＜m＜0时，0＜m+1＜1，f（x）在闭区间[m，m+1]上是增函数
∴f（m）=0，∴，∴m=，不合题意；
②当0≤m＜1时，m+1∈[1，2），此时最大值为
∵f（x）的最小值f（m）=0，∴，∴m=；
③当m≥1时，f（x）在闭区间[m，m+1]上是减函数
∵x＞1时，，其最小值不可能为0，∴此时m不存在
综上知，m=．