Question

对一个定义在R上的函数f（x）有以下四种说法：
①∀x∈R，f（1-x）=f（1+x）；
②在区间（-∞，0）上单调递减；
③对任意x₁＞x₂＞0满足f（x₁）＞f（x₂）；
④是奇函数．
则以上说法中能同时成立的最多有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

分析①∀x∈R，f（1-x）=f（1+x），关于x=1对称；对于②f（x）在区间（-∞，0）上单调递减；①②可以在一起；③表示其为增函数，④为奇函数，故③④可以放在一起；
【解析】
①∀x∈R，f（1-x）=f（1+x），对称轴x==1，若其在（-∞，0）上单调递减，
在（1，+∞）上单调递减，所以①不能与③④一起成立，
③对任意x1＞x2＞0满足f（x1）＞f（x2），f（x）在（0，+∞）上单调递增，
④f（x）为奇函数，不能与①一起成立，可以与③一起成立，
∴①②可以一起成立，③④可以一起成立，
故选B．