Question

某市为了解今年高中毕业生的身体素质状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行实心球测试，成绩在8米及以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知第一小组为[5，6），从左到右前5个小组的频率分别为0.06，0.10，0.14，0.28，0.30．第6小组的频数是6．
（1）求这次实心球测试成绩合格的人数；
（2）用此次测试结果估计全市毕业生的情况．若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X表示两人中成绩不合格的人数，求X的分布列及数学期望；
（3）经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投一次，求甲投得比乙远的概率．

Answer

（1）第6小组的频率为：1-（0.06+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.12，此次测试总人数为人，由此能求出这次实心球测试成绩合格的人数．
（2）X=0，1，2，此次测试中成绩不合格的概率为=，由X～B（2，），能求出X的分布列和数学期望．
（3）设甲、乙各投掷一次的成绩为x，y米，由基本事件满足的区域为，“甲投得比乙远的概率”满足的区域为x＞y，由几何概型能求出结果．
【解析】
（1）第6小组的频率为：1-（0.06+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.12，
此次测试总人数为人，
∴第4，5，6组成绩均合格，人数为（0.28+0.30+0.12）×50=35（人）．
（2）X=0，1，2，此次测试中成绩不合格的概率为=，
∴X～B（2，），
P（X=0）=，
P（X=1）==，
P（X=2）=，
∴X的分布列为

 X  0  1  2
 P      

∴=．
（3）设甲、乙各投掷一次的成绩为x，y米，
由基本事件满足的区域为，
“甲投得比乙远的概率”满足的区域为x＞y，（如图）
∴由几何概型知=．