Question

如图，五面体ABCD中，ABCD是以点H为中心的正方形，EF∥AB，EH丄平面ABCD，AB=2，EF=EH=1．
（1）证明：平面ADF丄平面ABCD；
（2）求五面体EF-ABCD的体积；
（3）设N为EC的中点，若在平面ABCD内存在一点M，使MN丄平面BCE，求MN的长．

Answer

（1）取AD的中点G，连接BD、GH、GF，利用正方形的性质结合三角形中位线定理，可证出四边形EFGH为平行四边形，从而EH∥FG，结合EH⊥平面ABCD，得到FG⊥平面ABCD，最后根据面面垂直的判定定理，得到平面ADF丄平面ABCD；
（2）在平面ABCD内过点H作直线IJ∥AD，分别交AB、CD于I、J．由（1）的证明过程，可得三棱柱ADF-IJE是直三棱柱，从而得到它的体积为：S△IJE×EF=IJ×EH×EF=1．又因为四棱锥E-IJCB的体积为：SIJCB×EH=，相加即得五面体EF-ABCD的体积．
（3）以G为原点，AD所在直线为x轴，建立如图坐标系，分别得出B、C、E、N各点的坐标，设M（x，y，0），若MN⊥平面BCE，则MN⊥EB且MN⊥EC，利用向量数量积为0，联列方程组，解之得x=，y=1．从而得到向量的坐标，利用向量模的公式，可得MN的长．
【解析】
（1）由题意，得：EF∥AB，且EF=AB，
取AD的中点G，连接BD、GH、GF，
∵H是正方形ABCD的中心，
∴H是BD的中点，得到△ABD中，GH是中位线，
∴GH∥AB，GH=AB，
∴EF∥GH且EF=GH，可得四边形EFGH为平行四边形，
∴EH∥FG，
又∵EH⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，
∵FG⊂平面ADF，∴平面ADF丄平面ABCD；
（2）在平面ABCD内过点H作直线IJ∥AD，分别交AB、CD于I、J．
由（1）的证明过程，得EF∥AI∥DJ，且EF=AI=DJ=1
∵EF⊥平面ADF，∴三棱柱ADF-IJE是直三棱柱
∴V三棱柱ADF-IJE=S△IJE×EF=IJ×EH×EF=×2×1×1=1．
又∵V四棱锥E-IJCB=SIJCB×EH=×SABCD×EH=．
∴五面体EF-ABCD的体积为V=V三棱柱ADF-IJE+V四棱锥E-IJCB=1+=．
（3）以G为原点，AD所在直线为x轴，建立如图坐标系，则
B（1，2，0），C（-1，2，0），E（0，1，1），N（-，，），
设M（x，y，0），可得，，
若MN⊥平面BCE，则，
解之得：x=，y=1．
∴向量，
因此==