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已知椭圆的长轴长是焦距的2倍,右准线方程为x=4. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ...

已知椭圆manfen5.com 满分网的长轴长是焦距的2倍,右准线方程为x=4.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知点D坐标为(4,0),椭圆C上动点Q关于x轴的对称点为点P,直线PD交椭圆C于点R(异于点P),求证:直线QR过定点.
(Ⅰ)根据椭圆的长轴长是焦距的2倍,右准线方程为x=4,可求几何量,从而求出椭圆C的方程; (Ⅱ)先猜想定点坐标为A(1,0),再设Q(m,n),则P(m,-n),证明直线PD与直线QA的交点恒在椭圆上,从而得证. (Ⅰ)【解析】 ∵椭圆的长轴长是焦距的2倍 ∴2a=2(2c),∴a=2c ∵右准线方程为x=4,∴,∴a2=4c ∴4c2=4c,∴c=1,∴a=2,∴b= 所以椭圆C的方程为:; (Ⅱ)证明:不妨取Q(0,),则P(0,-) ∴直线PD的方程为,即 代入椭圆方程可得:5x2-8x=0 ∴x=0,或x= ∴R(,-) ∴直线QR的方程为 令y=0,可得x=1,故猜想定点坐标为A(1,0) 设Q(m,n),则P(m,-n),∴直线PD的方程为:① 直线QA的方程为② 联立①②可得,解得 代入椭圆方程的左边可得+ ∵Q(m,n)在椭圆上,∴,∴ ∴+=+==1 即直线PD与直线QA的交点恒在椭圆上 故直线QR过定点(1,0).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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