Question

已知函数，又f′（-1）=0．
（Ⅰ）用a表示b；
（Ⅱ）若存在，使得|f（m₁）-f（m₂）|＞9成立，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由函数，知f′（x）=3ax2+2bx-6（a-1），由f′（-1）=0，能用a表示b．
（Ⅱ）由，令f′（x）=0，得x1=-1，或，由，知，故f（x）在（-2，-1）上单调递增，在（-1，）上单调递减，当x=-1时，有最大值f（-1）=，由此能求出实数a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵函数，
∴f′（x）=3ax2+2bx-6（a-1），
∵f′（-1）=0，
∴f′（-1）=3a-2b-6（a-1）=0．
∴b=3-．
（Ⅱ）∵，
令f′（x）=0，得x1=-1，或，
∵，∴，
当f′（x）＜0时，，
当f′（x）＞0时，x＜-1，或x＞，
∴f（x）在（-∞，1），（）上单调递增，在（-1，）上单调递减．
∴f（x）在（-2，-1）上单调递增，在（-1，）上单调递减，
∴当x=-1时，有最大值f（-1）=，
∵f（-2）=-2a-11，f（）=-，
∴．
①当f（-2）≥f（）时，即a≥3时，
符合条件的a满足|f（-1）-f（）|＞9，
∴||＞9，
∴，或a，
∴a≥3．
②当f（-2）＜f（）时，即a＜3时，
符合条件的a满足|f（-1）-f（-2）|＞9，
∴||＞9，
∴a或a＞，
∴．
综上所述，实数a的取值范围是（）．