Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_n-3a_n+2n=0（其中n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若，且T_n=b₁+b₂+…+b_n，求T_n；
（Ⅲ）设，数列{c_n}的前n项和为M_n，求证：．

Answer

（Ⅰ）由2Sn-3an+2n=0①，可得2Sn+1-3an+1+2（n+1）②，由①②即可证得数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求得bn=，利用错位相减法即可求得Tn；
（Ⅲ）可求得cn═2-+，Mn=c1+c2+…+cn=2n-[（-）+（-）+…+（-）]．利用放缩法与累加法即可证明结论．
（Ⅰ）证明：∵2Sn-3an+2n=0①，
∴2Sn+1-3an+1+2（n+1）②，
②-①得：2an+1-3（an+1-an）+2=0，
∴an+1=3an+3．
∴an+1+1=3（an+1），
∴=3，
又2a1-3a1+2=0，故a1=2，a1+1=3，
∴数列{an+1}是首项为3，公比为3的等比数列，
∴an+1=3•3n-1=3n，
∴an=3n-1．
（Ⅱ）∵bn===，
∴Tn=b1+b2+…+bn=+++…+，③
Tn=++…++④
③-④得：Tn=++…+-=-，
∴Tn=-•．
（Ⅲ）∵
=+
=+
=2-+．
∴Mn=c1+c2+…+cn=2n-[（-）+（-）+…+（-）]．
∵＜，＞，-＜-，
∴-＜-，⑤
同理-＜-，⑥
…
-＜-⑦
∴（-）+（-）+…+（-）＜-＜
∴-[（-）+（-）+…+（-）]＞-
∴Mn＞2n-．