Question

（文科）如图所示，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，M是棱A₁B₁的中点，N是棱A₁D₁的中点．
（1）求异面直线AN与BM所成的角；
（2）求三棱锥M-DBB₁的体积．

Answer

（1）棱B1C1的中点为G，连接BG、GM、GN，先利用平行公理证明ABGN为平行四边形，再利用异面直线所成的角的定义证明∠MBG是异面直线AN与BM所成的角，最后在三角形中计算此角即可；
（2）先利用线面垂直的判定定理证明MH⊥平面DBB1D1，从而MH为三棱锥M-DBB1的高，再利用三棱锥的体积计算公式计算其体积即可
【解析】
（1）记棱B1C1的中点为G，连接BG、GM、GN，GM与B1D1的交点为H，
连接BH，如图所示．
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，G、N是中点，
∴GN∥A1B1∥AB，GN=A1B1=AB，即ABGN为平行四边形．
∴BG∥AN，
∴∠MBG是异面直线AN与BM所成的角．
在三角形MBG中，，．
∴
异面直线AN与BM所成角为
（2）∵B1H是等腰三角形MB1G的顶角平分线
∴BH⊥MH．
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，MH⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥MH．
∴MH⊥平面DBB1D1，即MH为三棱锥M-DBB1的高．
∴==a3